求证一幅图片

你现在应该可以自己叙述欧拉关系了．看看此关系是否也能适用于其他的多面体，检验一下你的推论．

当时欧拉认为这只是多面体的性质，但后来数学家发现这种关系也能适用于球面或平面上的网络．

考虑如图1的网络．其中有3个结点a、b、c，4条弧p、q、r、s；这个网络把平面分成3个区域1、2、3．这些数目满足下列关系：

n-a+r=2

n为结点的数目，a为弧的数目，r为区域的数目．你觉得这与多面体的关系是否有什么类似之处？

现在把上述的关系式用在其他的网络上，试试结果如何．

你是否试过图2中不相连的网络？

你应该会发现，上述的关系式需要视网络中分离部分的数目作修正．看看你是否能找到一个公式，不管网络中到底有多少部分，都能成立．

“欧拉关系”与“网络关系”之间的联系可以用图3说明．

想象一下，用具有弹性的材料做一个立方体，可以如图3的方式伸展，然后压平，成为平面上的网络．原来立方体的每一个顶点现在都成为网络中的结点，原来立方体的每一条边现在则成为网络中的一条弧．

立方体的每一面现在都成为平面中的一个区域，只除了abcd之外，不过也可以把abcd看成是代表网络外部的区域．所有多面体以这种方式变换都可得到类似的结果，但要注意的是，对有洞的多面体需要做进一步的考察．

如果将多面体看作是三维空间分隔成不同区域，则对欧拉的关系式还可以作进一步推广．

考虑一下最简单的多面体——四面体(图4)．

四面体将空间分成两个区域，且

v-e+f-r=4-6+4-2=0

其中v、e、f各代表多面体的顶点、边与面的数目，r为区域的数目．现在在立方体上加一个金字塔形的角锥体．这种组合将空间分成3个区域，包括9个顶点、16条边与10个面(图5)．

我们再度得出

v-e+f-r=0

这是由欧拉原始的关系式推广得出的另一个关系式．用其他的方法分割空间，检验一下这个关系式．

2、不量尺寸的几何学

你在学校里早就与几何学搞得很熟了。在你的记忆中，这是一门量度的科学，它的大部分内容，是一大堆叙述长度和角度的各种数值关系的定理（例如，毕达哥拉斯定理就是叙述直角三角形三边长度的关系的）。然而，空间的许多最基本的性质，却根本用不着测量长度和角度。几何学中有关这一类内容的分支叫拓朴学。

现在举一个简单的典型拓扑学的例子，设想有一个封闭的几何面，比如说一个球面，它被一些线分成许多区域。我们可以这样做：在球面上任选一些点，用不相交的线把它们连接起来。那么，这些点的数目、连线的数目和区域的数目之间有什么关系呢。

首先，十分明显的一点是：如果把这个圆球挤成南瓜样的扁球，或拉成黄瓜那样的长条，那么，点、线、块的数目显然还和圆球时的数目一样。事实上，我们可以取任何形状的闭曲面，就象随意拉挤压扭一个气球时所能得到的那么曲面（但不能把气球撕裂或割破）一样。这时，上述问题的提法和结论都没有丝毫改变。而在一般几何学中，如果把一个正方体变成平行六面体，或把球形压成饼形，各种数值（如线的长度、面积、体积等）都会发生很大变化。这一点是两种几何学的很大不同之处。

我们现在可以将这个划分好的球的每一区域都展平，这样，球就变成了多面体（图13），相邻区域的界线变成了棱，原先挑选的点就成了顶点。

这样一来，我们刚才那个问题就变成（本质上没有任何改变）：一个任意形状的多面体的面、棱和顶点的数目之间有什么关系？

图14示出了五种正多面体（即所有各个面都有同样多边和顶点）和一个随意画出的不规则多面体。

我们可以数一数这些几何体各自拥有的顶点数、棱数和面数，看看它们之间有没有什么关系。

数一数以后，我们得到下面的表。

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多面体名称 │ 顶点数v│ 棱数e │ 面数f│ v＋f │e＋2

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四面体 │ 4 │ 6 │ 4 │ 8 │ 8

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六面体 │ 8 │ 12 │ 6 │ 14 │ 14

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八面体 │ 6 │ 12 │ 8 │ 14 │ 14

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二十面体 │ 12 │ 30 │ 20 │ 32 │ 32

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十二面体 │ 20 │ 30 │ 12 │ 32 │ 32

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古怪体 │ 21 │ 45 │ 26 │ 47 │ 47

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前面三栏的数据，乍一看来好象没有什么相互关系。但仔细研究一下，就会发现，顶点数和面数之和总是比棱数大2。因此，我们可以写出这样一个关系式：

v＋f＝e＋2

这个是适用于任何多面体呢，还是只适用于图14上这几个特殊的多面体？你不妨再画几个其它样子的多面体，数数它们的顶点、棱和面。你会发现，结果还是一样。可见，v＋f＝e＋2是拓扑学的一个普遍适用的数学定理，因为这个关系式并不涉及到棱的长短或面的大小，它只牵涉到各种几何学单位（顶点、面、棱）的数目。

这个关系是十七世纪法国的大数学家笛卡尔（rene descartes）最先注意到的，它的严格证明则由另一位数学家欧拉作出。这个定理现在被称为欧拉定理。

下面就是欧拉定理的证明，引自古朗特（r.courant）和罗宾斯（h.robbins）的著作〖数学是什么？〗。我们可以看一看，这一类型的定理是如何证明的。

为了证明欧拉的公式，我们可以把给定的简单多面体想象成用橡皮薄膜作成的中空体（图15a）。如果我们割去它的一个面，然后使它变形，把它摊成一个平面（图15b）。当然，这么一来，面积和棱间的角度都会有所改变。然而这个平面网络的顶点数和边数都与原多面体一样，而多边形的数目则比原来多面体的面数少了一个（因为割去了一个面）。下面我们将证明，对于这个平面网络，v’-e+f=1。这样，在加上割去的那个面以后，结果就成为：对于原多面体，v-e+f=2。

首先，我们把这个平面网络“三角形化”，即给网络中不是三角形的多边形加上对角线。这样，e和f的数目都会增加。但由于每加一条对角线，e和f都增加1，因此v-e+f仍保持不变。这样添加下去，最后，所有的多边形都会变成三角形（图15c）。在这个三角形化了的网络中，v-e+f仍和三角形化以前的数值一样，因为添加对角线并不改变这个数值。

有一些三角形位于网络边缘，其中有的（如）只有一条边位于边缘，有的则可能有两条边。我们依次把这些边缘三角形的那些不属于其它三角形的边、顶点和面拿掉（图）。这样，从，我们拿去了边和这个三角形的面，只留下顶点和两条边，从，我们拿去了平面、两条边和顶点。

在式的去法中，e和f都减少1，但v不变，因而v-e+f不变。在式的去法中，v减少1，e减少2，f减少1。因而v-e+f仍不变。以适当方式逐个减少这些边缘三角形。直到最后只剩下一个三角形。一个三角形有三条边、三个顶点和一个面。对于这个简单的网络，v-e+f＝3-3+1=1。我们已经知道，v-e+f并不随三角形的减少而改变，因此，在开始的那个网络中，v-e+f也应该等于1。但是，这个网络又比原来那个多面体少一个面，因此，对于完整的多面体，v-e+f=2。这就证明了欧拉的公式。

欧拉公式的一条有趣的推论就是：只可能有五种正多面体存在，就是图14中那五种。

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